Apéndice

Apéndice

A - 1

Consideremos el siguiente problema:

En un auditorio se encuentran reunidas 4000 personas. ¿Cuántas de ellas, como mínimo, cumplen años el mismo día?

Pudiera ser que por alguna extraña coincidencia todas cumplieran años el mismo día, pero si los cumpleaños están distribuidos a lo largo del año ¿qué es lo que podemos asegurar? Tenemos 366 días (incluyendo el 29 de febrero) como posibles cumpleaños y 4000 personas, de modo que si las distribuimos uniformemente en los días tendríamos 4000/366 = 10.9. Las primeras 3660 (366×10) personas estarían acomodadas en los 366 días pero la siguiente persona, la número 3661 compartiría su cumpleaños con alguno de los 366 grupos de 10 personas. Así pues podemos estar seguros de que al menos habrá 11 personas que cumplan años el mismo día. Puede que haya más personas que cumplan el mismo día pero podemos asegurar que hay un día en el que no menos de once personas celebran su cumpleaños.

Podemos generalizar la esta idea en el llamado principio de Dirichlet, también conocido como el principio de las palomas:

Principio de Dirichlet .
Si se quieren distribuir n objetos en k casilleros ( n > k), habrá algún casillero con al menos

objetos.

El símbolo [ ] en la fórmula anterior significa la parte entera del número. Por ejemplo [9.25] = 9, [pi] = 3.

A -2

Si tenemos la sucesión de números naturales a₁, a₁+ 1, a₁ + 2, ··· , a ₁ + n tiene a ₁ + n - a ₁ + 1 elementos. Por ejemplo, la cantidad de números que hay en la lista: 10, 11, 12, ^{. . .}, 113 es 113 - 10 + 1 = 104. En general si tenemos la sucesión a₁, a₁+ d, a₁ + 2 d, ··· , a ₁ + nd la cantidad de elementos que tiene es
Por ejemplo, la cantidad de elementos que hay en la sucesión: 10, 13, 16, ^{. . .}, 100 es		= 31.

A - 3

Decimos que un número p es divisible por q si p = q × m siendo q y m enteros. Es decir que p es divisible por q cuando el residuo que obtenemos al dividirlos es 0.

En matemáticas usamos el símbolo | para significar divisibilidad. Para decir que 8 es divisible por 4 escribimos 4 | 8 que se lee "4 divide a 8". En general para decir que a divide a b escribimos a | b

Si a, b, c son enteros y tenemos que a|b y a|c entonces sucede que

a | ( b + c)
a | ( b - c)
a | ( b × c)
a | b × d siendo d un entero cualquiera
a | bⁿ

A - 4

Criterio de divisibilidad por 2 .	Un número es divisible por 2 si su último dígito lo es.
Criterio de divisibilidad por 3 .	Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos lo es.
Criterio de divisibilidad por 4.	Un número es divisible por 4 si el número formado por sus dos últimas cifras lo es.
Criterio de divisibilidad por 5 .	Un número es divisible por 5 si su último dígito es 0 ó 5.
Criterio de divisibilidad por 6 .	Un número es divisible por 6 si lo es por 2 y por 3.
Criterio de divisibilidad por 7 :	Le quitamos al número en cuestión la cifra de las unidades y al número que nos queda le restamos el doble de la cifra de las unidades. Si el número que obtenemos de esta forma es divisible entre 7 entonces el número original también lo es. Por ejemplo 273 es divisible entre 7 por que 27 - 2×3 = 21 lo es.
Criterio de divisibilidad por 8 .	Un número es divisible por 8 si el número formado por sus tres últimas cifras lo es.
Criterio de divisibilidad por 9 .	Un número es divisible por 9 si la suma de sus dígitos lo es.
Criterio de divisibilidad por 10 .	Un número es divisible por 10 si su última cifra es 0.
Criterio de divisibilidad por 11 .	Un número es divisible por 11 si la diferencia de los dígitos que ocupan la posición par y la suma de los dígitos que ocupan la posición impar es divisible por 11.

A - 5

Teorema Fundamental de la Aritmética :

Un número primo es el que tiene exactamente dos divisores positivos, el mismo y la unidad.
(El 1 no es primo)

Si n es un entero mayor que 1 entonces n puede escribirse de manera única como el producto de números primos. A esta forma de representar n como producto de números primos se le llama factorización en primos o factorización prima de n .

Criterio de primalidad.

Un número n es primo si no es divisible entre ninguno de los números primos que son menores o iguales
a su raíz cuadrada.

A - 6

Los exponentes en la factorización prima de un número cuadrado son siempre pares. Por ejemplo, 14400 = 120 ². La factorización prima de 120 es 2 ³×3×5, por lo tanto:

14400 = (2 ³×3×5)² = 2 ³×3×5 × 2 ³×3×5 = 2 ³×2³×3×3×5×5 = 2 ⁶×3²×5².

En general si n =

entonces n² =

A - 7

Si n =

entonces la cantidad de divisores (o de factores) está dada por la expresión ( a₁ + 1) × ( a₂ + 1) × ··· × ( a_n + 1).

Veámoslo con un ejemplo:

Para encontrar todos los divisores de 120 = 2 ³×3×5 consideremos la siguiente tabla:

2⁰ = 1	21	2²	2³
3⁰ = 1	3¹
5⁰ = 1	5¹

Los divisores de 120 los encontramos haciendo todas las combinaciones de los elementos de cada fila, es decir,
4×2×2 = 16 combinaciones posibles y por lo tanto 16 divisores:

1×1×1 = 1
1×1×3 = 3	1×1×5 = 5	1×1×2 = 2	1×1×2 ² = 4	1×1×2 ³ = 8
1×2×3 = 6	1×2×5 = 10	1×3×5 = 15	1×2 ²×3 = 12	1×2 ²×5 = 20
1×2³×3 = 24	1×2 ³×5 = 40	2×3×5 = 30	2 ²×3×5 = 60
2³×3×5 = 120

A - 8

Notación desarrollada.

Sean a, b, c, d, e, f, g, h, i dígitos que forman los números abcde y 0. fghi entonces podemos expresarlos de la siguiente manera:

G - 1

Desigualdad del triángulo

En un triángulo cada lado es menor que la suma de los otros dos. Si a, b y c son los lados de un triángulo, entonces:

b + c - > a

a + c - > b

a + b - > c

G - 2

Si AB = CD entonces las áreas de los triángulos ABE y CDE son iguales puesto que las alturas desde E son iguales.

Análogamente, si los vértices de dos

triángulos están entre paralelas y los lados sobre las paralelas son iguales, entonces sus áreas también son iguales.
Si p y q son rectas paralelas y AB = DE entonces el área de los triángulos ABC y DEF es igual.

G - 3

Si las dimensiones que determinan a dos figuras planas semejantes están en razón k entonces sus áreas están en razón k².

Si las dimensiones que determinan a dos sólidos semejantes están en razón k entonces sus volúmenes están en razón k³.

G - 4

Un ángulo inscrito es la mitad del ángulo central, ambos determinados por el mismo arco.

Probaremos el primer caso y dejaremos al lector la prueba de los otros dos (algún trazo auxiliar puede ser útil)

<AOC =<OAB + <OBA. Como AO y OB son radios, el triángulo AOB es isósceles, por lo tanto <OAB = <OBA, así que <AOC = <OAB + <OBA = <OBA + <OBA = 2<OBA

G - 5

Semejanza

Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma. Dos círculos cualesquiera son semejantes. Dos cuadrados también los son. Dos rectángulos son semejantes si sus lados correspondientes están en la misma razón.

Utilizamos el símbolo ~ para denotar que dos figuras son semejantes. Por ejemplo para afirmar que los triángulos ABC y DEF son semejantes escribimos triángulo ABC ~ triángulo DEFK

G - 6

Congruencia

Dos figuras son congruentes si coinciden cuando colocamos una sobre otra. Por ejemplo, dos segmentos son congruentes si tienen la misma longitud, dos circunferencias son congruentes si tienen el mismo radio, dos cuadrados son congruentes si tienen el mismo lado. Si las figuras A y B son congruentes escribimos: A "E B. ¿Cuándo son congruentes dos triángulos?

Congruencia de Triángulos.

Dos triángulos son congruentes en cualquiera de los siguientes casos:

Tienen los 3 lados iguales (Criterio LLL)
Tienen 2 ángulos y un lado igual (Criterio ALA)
Tienen 2 lados iguales y e igual el ángulo comprendido(Criterio LAL)

G - 7

Algunos resultados básicos:

Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes.
La suma de los ángulos interiores de un polígono regular de n lados es
La suma de los ángulos exteriores de un polígono regular de n lados es 360º
Los ángulos interiores de un polígono regular de n lados miden
Los ángulos exteriores de un polígono regular de n lados miden
Sea ABC un triángulo y P, Q y R los puntos medios de sus lados, entonces el perímetro del triángulo formado por P, Q y R es la mitad del perímetro de ABC.
En el triángulo ABC, D y E son los puntos medios de AC y BC, respectivamente, entonces ”CDE ~ ” CAB.
Si D, E y F son los puntos medios de los lados del triángulo ABC, entonces ABC ~ DEF.
Las alturas de dos triángulos semejantes están en la misma razón que sus lados.

G - 7

Circunferencia

G - 8

Algunos resultados básicos

Dadas dos circunferencias concéntricas, toda cuerda de la circunferencia mayor que sea tangente a la circunferencia menor es bisecada en su punto de tangencia.
La perpendicular desde el centro de una circunferencia a una cuerda biseca a ésta.
En una circunferencia las cuerdas equidistantes del centro son congruentes.
Un ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.
Los ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia son suplemetarios.

C - 1

Principio Multiplicativo

Si un evento puede ocurrir de p maneras y un segundo evento puede ocurrir independientemente del primero de
q formas, entonces los dos eventos pueden suceder de p × q maneras.

C - 2

El factorial de un número natural n se denota mediante el símbolo n! y se define como
n! = 1 × 2 × 3 × ··· × n. Por ejemplo 5! = 1 × 2 ×3 × 4 × 5 = 120
El factorial de 0 se define como 0! = 1.

C - 3

Las permutaciones de n objetos la denotamos por el símbolo P(n,n)

P(n,n) = n! = 1 × 2 × 3 × ··· × n

Por ejemplo, las permutaciones que podemos formar con las letras ABCD son

P(4,4) = 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

Las permutaciones de n objetos tomados m a la vez se denota con el símbolo P(n,m) y se define:

P(n,m) =		= n × ( n - 1) ··· × ( n - m + 1)
Por ejemplo El número de placas de 4 letras es
P(26,4) =		= 26×25×24×23 = 358800

C - 4

A las combinaciones que podemos obtener de un conjunto de m objetos tomados de n a la vez y sin importar el orden se le llama combinaciones de m en n y se denota
Por ejemplo las combinaciones de tres letras del alfabeto que podemos generar, sin importar el orden, es decir que, por ejemplo, ABC es el mismo que ACB son:		2600